ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones x + y = 5
x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES
son las que se obtienen una de la otra.
Así, x + y = 4
2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tiene infinitas soluciones comunes.
Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
1. ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN
¿Por qué se llama método de igualación?. Este método consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones y posteriormente igualar (de ahí su nombre) los segundos miembros de esos despejes, vale decir las dos expresiones algebraicas resultantes.
De este modo queda una ecuación de primer grado con una sola incógnita que debes resolver, hallando la incógnita. Sustituyendo ese valor en las dos ecuaciones originales y despejando la otra incógnita, resolverás el sistema inicial.
sustituyendo el valer de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:
7x + 4(--2) = 13
7x – 8 = 13 R. x = 3, y = --2.
Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los metódos de sustitución, igualación y reducción.
Método de sustitución
Sistemas ecuaciones
Método de reducción
Sistemas ecuaciones lineales
Método de igualación
Sistemas ecuaciones lineales
7x = 2
x = 3
2. ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Resolver el sistema 2x + 5y = --24
8x – 3y = 19
Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:
x = (--24 – 5y) / 2
este valor de x se sustituye en la ecuación (2).
8(--24 – 5y) – 3y = 12
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x .
Resolvemos esta ecuación. Simplificando 8 y 2 queda:
4(--24 – 5y) – 3y = 19
--96 – 20y – 3y = 19
--20y – 3y = 19 + 96
-- 23y = 115
y = --5
sustituyendo y = --5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2x + 5(--5) = –24
2x – 25 = --24 R. x = 1/2, y = --5
2x = 1
x = 1/2
Haciendo x = 1/2 , y = --5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.
3. MÉTODO DE REDUCCIÓN
Los métodos de resolución de sistemas se suelen basar todos en una misma idea: reducir el número de ecuaciones y pasar de dos ecuaciones con dos incógnitas a una sola ecuación con una incógnita. En este último caso, ya sabes resolverlas gracias a lo que aprendiste en la unidad anterior.
El objetivo de llegar a una ecuación con una incógnita puede lograrse de distintas maneras, según el método que utilices.
Resolver el sistema 5x + 6y = 20
4x – 3y = --23
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.
Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.
El m.c.m de los coeficientes de y, 6 Y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2X3=6, y tendremos:
5x + 6y = 20
8x – 6y = --46
Como los coeficientes de y que hemos igualados tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5x + 6y = 2
8x – 6y = --4
13x x = --26/1
x = --2
Sustituyendo x = --2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
5(--2) + 6y = 20
--10 + 6y = 20 R. x = --2, y = 5
6y = 30
y = 5
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones x + y = 5
x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES
son las que se obtienen una de la otra.
Así, x + y = 4
2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tiene infinitas soluciones comunes.
Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
1. ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN
¿Por qué se llama método de igualación?. Este método consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones y posteriormente igualar (de ahí su nombre) los segundos miembros de esos despejes, vale decir las dos expresiones algebraicas resultantes.
De este modo queda una ecuación de primer grado con una sola incógnita que debes resolver, hallando la incógnita. Sustituyendo ese valor en las dos ecuaciones originales y despejando la otra incógnita, resolverás el sistema inicial.
sustituyendo el valer de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:
7x + 4(--2) = 13
7x – 8 = 13 R. x = 3, y = --2.
Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los metódos de sustitución, igualación y reducción.
Método de sustitución
Sistemas ecuaciones
Método de reducción
Sistemas ecuaciones lineales
Método de igualación
Sistemas ecuaciones lineales
7x = 2
x = 3
2. ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Resolver el sistema 2x + 5y = --24
8x – 3y = 19
Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:
x = (--24 – 5y) / 2
este valor de x se sustituye en la ecuación (2).
8(--24 – 5y) – 3y = 12
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x .
Resolvemos esta ecuación. Simplificando 8 y 2 queda:
4(--24 – 5y) – 3y = 19
--96 – 20y – 3y = 19
--20y – 3y = 19 + 96
-- 23y = 115
y = --5
sustituyendo y = --5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2x + 5(--5) = –24
2x – 25 = --24 R. x = 1/2, y = --5
2x = 1
x = 1/2
Haciendo x = 1/2 , y = --5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.
3. MÉTODO DE REDUCCIÓN
Los métodos de resolución de sistemas se suelen basar todos en una misma idea: reducir el número de ecuaciones y pasar de dos ecuaciones con dos incógnitas a una sola ecuación con una incógnita. En este último caso, ya sabes resolverlas gracias a lo que aprendiste en la unidad anterior.
El objetivo de llegar a una ecuación con una incógnita puede lograrse de distintas maneras, según el método que utilices.
Resolver el sistema 5x + 6y = 20
4x – 3y = --23
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.
Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.
El m.c.m de los coeficientes de y, 6 Y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2X3=6, y tendremos:
5x + 6y = 20
8x – 6y = --46
Como los coeficientes de y que hemos igualados tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5x + 6y = 2
8x – 6y = --4
13x x = --26/1
x = --2
Sustituyendo x = --2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
5(--2) + 6y = 20
--10 + 6y = 20 R. x = --2, y = 5
6y = 30
y = 5