Métodos de igualación
Ejemplo 1: Hallar la solución del sistema dado por el método de igualación:
x - 5y = -14 (1)
x + 2y = 7 (2)
Solución: Se despeja la misma incógnita en (1) y (2), así:
Despejando x en (1), se obtiene: x = -14 + 5y (3)
Se despeja x en (2) y queda: x = 7 - 2y (4)
Igualando (3) y (4) queda lo siguiente: -14 + 5y = 7 - 2y
Al hacer transposición de términos: 5y + 2y = 7 + 14
Resolviendo términos semejantes: 7y = 21
Aplicando propiedad de las igualdades: y = 21/7
Por último, se simplifica y se tiene: y = 3
Para terminar, se remplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, y obteniendo lo siguiente:
En este caso se tomará la ecuación (1):
x - 5y = -14 (1) Remplazando el valor de y.
x - 5(3) = -14 Se resuelve la operación indicada
x - 15 = -14 Haciendo la transposición de términos
x = 15 - 14 Por último se resuelve la diferencia y queda:
x = 1
Ejemplo 1: Hallar la solución del sistema dado por el método de igualación:
x - 5y = -14 (1)
x + 2y = 7 (2)
Solución: Se despeja la misma incógnita en (1) y (2), así:
Despejando x en (1), se obtiene: x = -14 + 5y (3)
Se despeja x en (2) y queda: x = 7 - 2y (4)
Igualando (3) y (4) queda lo siguiente: -14 + 5y = 7 - 2y
Al hacer transposición de términos: 5y + 2y = 7 + 14
Resolviendo términos semejantes: 7y = 21
Aplicando propiedad de las igualdades: y = 21/7
Por último, se simplifica y se tiene: y = 3
Para terminar, se remplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, y obteniendo lo siguiente:
En este caso se tomará la ecuación (1):
x - 5y = -14 (1) Remplazando el valor de y.
x - 5(3) = -14 Se resuelve la operación indicada
x - 15 = -14 Haciendo la transposición de términos
x = 15 - 14 Por último se resuelve la diferencia y queda:
x = 1
Método de sustitución
Consiste en despejar una de las dos variables en una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación
Ejemplos :
Método de reducción
ejemplo:.Resolver el sistema
(1). -1/2x - 1/3y = 4
(2). -2 + 1/4x = 1/2y
SOLUCIÓN:
Se organizan las ecuaciones para que queden los términos semejantes en columa.
(1) -1/2x - 1/3y = 4
(2) 1/4x - 1/2y = 2
Se va a reducir x, luego se halla el común denominador entre -1/2 y 1/4 y se amplifica cada solución convenientemente.
(1) -1/2x - 1/3y = 4 Se multiplica la ecuación (1) por (1/2) y queda:
(3) -1/4x - 1/6y = 2
Tomando la ecuación (2) y (3), se reducen los términos semejantes.
(3) -1/4x - 1/6y = 2
(2) 1/4x - 1/2y = 2
0x - 1/6y-1/2y = 4 Reduciendo términos semejantes, se tiene
-2/3y = 4 Se despeja y.
y = 4 (-3/2) Se resuelve la operación indicada
y = -12/2 por último, se simplifica y queda:
y = -6
Luego, se remplaza el valor de y en la ecuación (1) así:
-1/2x -1/3y = 4
-1/2x -1/3(6)= 4 Se resuelven la operación indicada y
-1/2x - 2 = 4 se transponen términos
-1/2x = 4 - 2
x = 2(-2)
x = -4
Por lo tanto, la solución del sistema es: x = - 4;
y = -6.
Ejemplo. No siempre es posible eliminar directamente una incógnita. Vean el siguiente ejemplo:
Resolver el sistema:
(1) 2x + 3y = 6
(2) 5x + 2y = -7
SOLUCIÓN:´
Como los coeficientes de las incógnitas son diferentes, para intentar eliminar una de ellas se debe hacer así:
(3) 4x + 6y = 12 Se multiplica la ecuación (1) por 2 y
(4) -15x - 6y = 21 se multiplica la ecuación (2) por -3, y se obtiene:
- 11x +0y = 33 Reduciendo términos semejantes
x = 33/-11 simplificando queda:
x = -3
Se sustituye el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales, se despeja y, resultando:
En (1 )
2(-3) + 3y = 6 Remplazando el valor de x en (1)
-6 + 3y = 6 Realizando la operación indicada
3y = 6+6 Se transponen términos
3y = 12
y = 12/3 Se simplifica, obteniendo
y = 4
De ahí, la solución del sistema es: x = -3, y = 4
ejemplo:.Resolver el sistema
(1). -1/2x - 1/3y = 4
(2). -2 + 1/4x = 1/2y
SOLUCIÓN:
Se organizan las ecuaciones para que queden los términos semejantes en columa.
(1) -1/2x - 1/3y = 4
(2) 1/4x - 1/2y = 2
Se va a reducir x, luego se halla el común denominador entre -1/2 y 1/4 y se amplifica cada solución convenientemente.
(1) -1/2x - 1/3y = 4 Se multiplica la ecuación (1) por (1/2) y queda:
(3) -1/4x - 1/6y = 2
Tomando la ecuación (2) y (3), se reducen los términos semejantes.
(3) -1/4x - 1/6y = 2
(2) 1/4x - 1/2y = 2
0x - 1/6y-1/2y = 4 Reduciendo términos semejantes, se tiene
-2/3y = 4 Se despeja y.
y = 4 (-3/2) Se resuelve la operación indicada
y = -12/2 por último, se simplifica y queda:
y = -6
Luego, se remplaza el valor de y en la ecuación (1) así:
-1/2x -1/3y = 4
-1/2x -1/3(6)= 4 Se resuelven la operación indicada y
-1/2x - 2 = 4 se transponen términos
-1/2x = 4 - 2
x = 2(-2)
x = -4
Por lo tanto, la solución del sistema es: x = - 4;
y = -6.
Ejemplo. No siempre es posible eliminar directamente una incógnita. Vean el siguiente ejemplo:
Resolver el sistema:
(1) 2x + 3y = 6
(2) 5x + 2y = -7
SOLUCIÓN:´
Como los coeficientes de las incógnitas son diferentes, para intentar eliminar una de ellas se debe hacer así:
(3) 4x + 6y = 12 Se multiplica la ecuación (1) por 2 y
(4) -15x - 6y = 21 se multiplica la ecuación (2) por -3, y se obtiene:
- 11x +0y = 33 Reduciendo términos semejantes
x = 33/-11 simplificando queda:
x = -3
Se sustituye el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales, se despeja y, resultando:
En (1 )
2(-3) + 3y = 6 Remplazando el valor de x en (1)
-6 + 3y = 6 Realizando la operación indicada
3y = 6+6 Se transponen términos
3y = 12
y = 12/3 Se simplifica, obteniendo
y = 4
De ahí, la solución del sistema es: x = -3, y = 4